题目内容

【题目】已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式
(3)求函数g(x)=|logax﹣1|的单调区间.

【答案】
(1)解:∵loga3>loga2,∴a>1,

又∵y=logax在[a,2a]上为增函数,

∴loga(2a)﹣logaa=1,∴a=2


(2)解:依题意可知 解得

∴所求不等式的解集为


(3)解:∵g(x)=|log2x﹣1|,

∴g(x)≥0,当且仅当x=2时,g(x)=0,

∴函数在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,

g(x)的减函数为(0,2),增区间为(2,+∞).


【解析】(1)根据对数函数的性质求出a的范围,根据函数的单调性得到loga(2a)﹣logaa=1,求出a的值即可;(2)根据函数的单调性得到关于x的不等式组,解出即可;(3)通过讨论x的范围,求出函数的单调区间即可.

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