Question

【题目】已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）解不等式 ；
（3）求函数g（x）=|logax﹣1|的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵loga3＞loga2，∴a＞1，

又∵y=logax在[a，2a]上为增函数，

∴loga（2a）﹣logaa=1，∴a=2

（2）解：依题意可知 解得 ，

∴所求不等式的解集为 ．

（3）解：∵g（x）=|log2x﹣1|，

∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0，

则

∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，

g（x）的减函数为（0，2），增区间为（2，+∞）．

【解析】（1）根据对数函数的性质求出a的范围，根据函数的单调性得到loga（2a）﹣logaa=1，求出a的值即可；（2）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可；（3）通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可．