Question

【题目】在四面体ABCD中，AB=CD=2 ，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB； 同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2 x，HG=2 （1﹣x）
SEFGH=FG×HG=8x（1﹣x）=﹣8（x﹣ ）2+2，
根据二次函数的性质可知：SEFGH面积的最大值2．
所以答案是2．

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的性质的相关知识，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行．