Question

已知动点M（x，y）在曲线C上，点M与定点F（1，0）的距离和它到直线m：x=4的距离的比是

1

2

．
（1）求曲线C的方程；
（2）点E（-1，0），∠EMF的外角平分线所在直线为l，直线EN垂直于直线l，且交FM的延长线于点N．试求点P（1，8）与点N连线的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）设点M到直线m：x=4的距离为d，
根据题意，可得

|MF|

d

=

1

2

，
即

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化简得

x2

4

+

y2

3

=1．
∴曲线C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得曲线C是E（-1，0）、F（1、0）为焦点的双曲线，2a=4．
根据题意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴点N的轨迹是以F（1，0）为圆心，4为半径的圆．
又∵直线PN的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圆心F到直线PN的距离d小于等于半径，可得

|k+8-k|

k2+1

≤4，
解之得k≤-

3

或k≥

3

，可得斜率k的取值范围是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．