题目内容

已知数列{an}成等比数列,且an>0.
(1)若a2a1=8,a3m.①当m=48时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的,求m的值;
(2)若a2ka2k-1+…+ak+1-(akak-1+…+a1)=8,k∈N*,求a2k+1a2k+2+…+a3k的最小值.
(1)见解析(2)32
设公比为q,则由题意,得q>0.
(1)①由a2a1=8,a3m=48,得
解之,得 
所以数列{an}的通项公式为
an=8(2-)(3+)n-1,或an=8(2+)(3-)n-1.
②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于a1q的方程组有唯一正数解,即方程8q2mqm=0有唯一解.
Δm2-32m=0,a3m>0,所以m=32,此时q=2.
经检验,当m=32时,数列{an}唯一,其通项公式是an=2n+2.
(2)由a2ka2k-1+…+ak+1-(akak-1+…+a1)=8,
a1(qk-1)(qk-1qk-2+…+1)=8,且q>1.
a2k+1a2k+2+…+a3ka1q2k(qk-1qk-2+…+1)==8
≥32,
当且仅当qk-1=,即qa1=8(-1)时,
a2k+1a2k+2+…+a3k的最小值为32
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