题目内容
【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率是
,且过点
.直线y=
x+m与椭圆C相交于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积的最大值;
(Ⅲ)设直线PA,PB分别与y轴交于点M,N.判断|PM|,|PN|的大小关系,并加以证明.
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆 =1(a>b>0)的半焦距为c,
由椭圆C的离心率是e= =
=
,即a2=2b2,
将点 代入椭圆方程:
.解得
,
∴椭圆C的方程为 ;.[(4分)]
(Ⅱ)由 ,消去y,整理得x2+
mx+m2﹣2=0.
令△=2m2﹣4(m2﹣2)>0,解得﹣2<m<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=﹣ m,x1x2=m2﹣2.
∴丨AB丨= =
,
点 .到直线x﹣
y+
m=0的距离为d=
=
.
∴△PAB的面积S= 丨AB丨d=
丨m丨
,
= ≤
,
当且仅当m=± 时,S=
.
则△PAB的面积的最大值 ;
(Ⅲ)丨PM丨=丨PN丨.证明如下:
设直线PA,PB的斜率分别是k1,k1,
则k1+k2= +
=
,
由(Ⅱ)得(y1﹣1)(x2﹣ )+(y2﹣1)(x1﹣
),
=( x1+m﹣1)(x2﹣
)+(
x1+m﹣1)(x1﹣
),
= x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣2
(m﹣1),
= (m2﹣2)+(m﹣2)(﹣
m)﹣2
(m﹣1)=0,
∴直线PA,PB的倾斜角互补.
∴∠1=∠2,
∴∠PMN=∠PNM.
∴丨PM丨=丨PN丨.
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式,求得a2=2b2,将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值;(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,由△>0,求得m的取值范围,利用韦达定理,弦长公式,根二次函数的性质,即可求得△PAB的面积的最大值;(Ⅲ)设直线PA,PB的斜率分别是k1,k1,根据韦达定理和直线的斜率公式求得k1+k2=0,则∠PMN=∠PNM,则丨PM丨=丨PN丨.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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