题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PC⊥平面ABCD,点E在棱PA上.
(Ⅰ)求证:直线BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PC∥平面BDE,求证:AE=EP;
(Ⅲ)是否存在点E,使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的 ?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】证明:(Ⅰ)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,
因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC,
因为PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)设AC与BD交点为O,连接OE,
因为平面PAC∩平面BDE=OE,PC∥平面BDE,
所以PC∥OE,
又由ABCD是菱形可知O为AC中点,
所以,在△PAC中, ,
所以AE=EP.
(Ⅲ)在△PAC中过点E作EF∥PC,交AC于点F,
因为PC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.
由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC,
假设存在点E满足 ,即
,则
,
所以在△PAC中, ,
所以 .
【解析】(Ⅰ)推导出PC⊥BD,BD⊥AC,由此能证明BD⊥平面PAC.(Ⅱ)设AC与BD交点为O,连接OE,推导出PC∥OE,由ABCD是菱形可知O为AC中点,利用 ,能证明AE=EP.(Ⅲ)在△PAC中过点E作EF∥PC,交AC于点F,由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC,由此利用
,能求出结果.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.

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