Question

【题目】已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）e1﹣x ， 其中a∈R． （Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；
（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）e1﹣x，

得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）e1﹣x，

令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．

所以当a=﹣2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；

当a≠﹣2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=﹣a．

（Ⅱ）证明：①当a=﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，

所以，函数f（x）无极值．

②当a＞﹣2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．

又x＞2时，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，

所以，当x＞2时，f（x）=）=（x2+ax﹣a）e1﹣x＞0恒成立．

所以，f（﹣a）=﹣ae1+a为f（x）的最小值．

故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．

③当a=﹣5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

因为当x＞5时，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，

又f（2）=﹣e﹣1＜0，

所以，当a=﹣5时，函数f（x）也存在最小值．

所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．

综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件

【解析】（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，解得即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的最值的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．