Question

1．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN=105°，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°．
（1）求△BCD的面积；
（2）求船AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得∠CBD，进而求得BC，BD，进而根据三角形面积公式求得答案．
（2）利用正弦定理求得AD，进而利用余弦定理分别求得BD，AB．

解答 解：（1）由题，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°，
得∠CBD=30°，
所以BC=CD=100，
所以${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}CB•CD•sin∠BCD=\frac{1}{2}×100×100×sin{120°}$=$2500\sqrt{3}$平方米．
（2）由题，∠ADC=75°，∠ACD=45°，∠BDA=45°，
在△ACD中，$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{100}{{sin{{60}°}}}=\frac{AD}{{sin4{5°}}}$，
所以$AD=\frac{100}{3}\sqrt{6}$，
在△BCD中，$BD=\sqrt{B{C^2}+C{D^2}-2BC•CDcos∠BCD}=\sqrt{10{0^2}+10{0^2}-2×100×100×cos12{0°}}=100\sqrt{3}$，
在△ABD中，$AB=\sqrt{A{D^2}+B{D^2}-2AD•BDcos∠BDA}$=$\sqrt{{{（\frac{100}{3}\sqrt{6}）}^2}+（100\sqrt{3}{）^2}-2×\frac{100}{3}\sqrt{6}×100\sqrt{3}×cos4{5°}}$=$\frac{100}{3}\sqrt{15}$，
即船长为$\frac{100}{3}\sqrt{15}$米．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的重要步骤就是建立数学模型．