题目内容

【题目】已知数列{an}满足a1=1,(an﹣3)an+1﹣an+4=0(n∈N*).
(1)求a2 , a3 , a4
(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.

【答案】
(1)解:令n=1,﹣2a2+3=0,a2=

令n=2,﹣ a3 +4=0,a3=

令n=3,﹣ a4 +4=0,a4=


(2)解:猜想an= (n∈N*).

证明:当n=1时,a1=1= ,所以an= 成立,

假设当n=k时,an= 成立,即ak=

则(ak﹣3)ak+1﹣ak+4=0,即( ﹣3)ak+1 +4=0,

所以 ak+1= ,即ak+1= =

所以当n=k+1时,结论an= 成立.

综上,对任意的n∈N*,an= 成立


【解析】(1)由数列{an}的递推公式依次求出a2 , a3 , a4;(2)根据a2 , a3 , a4值的结构特点猜想{an}的通项公式,再用数学归纳法①验证n=1成立,②假设n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立
【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示和数学归纳法的定义,需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案.

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