Question

【题目】已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2： =1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2 ）．
（1）求抛物线C1 ， 双曲线C2的方程；
（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：P（3，2 ）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴抛物线C1：y2=8x；

焦点F（2，0），则 ，∴a=1，b= ，∴双曲线C2的方程 =1

（2）解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）

把直线AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：

k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+ ，y3=k（x3﹣2）= ，

同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，

∴kGH= ，

∴直线GH为y﹣ = （x﹣2﹣ ），即y= （x﹣3），过定点P（3，0）

【解析】（1）P（3，2 ）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出抛物线方程．焦点F（2，0），则 ，求出a，b，可得双曲线C2的方程；（2）欲证明直线GH过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，G，H的坐标，用A，B坐标表示G，H坐标，求出直线GH方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0）．