Question

【题目】某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：作AH⊥CF于H，

则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，

则六边形的面积为f （θ）=2× （AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ

=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0， ）

（2）解：f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]

=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．

令 f′（θ）=0，因为θ∈（0， ），

所以cosθ= ，即θ= ，

当θ∈（0， ）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0， ）上单调递增；

当θ∈（ ， ）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（ ， ）上单调递减，

所以当θ= 时，f （θ）取最大值f （ ）=2（cos +1）sin = ．

答：当θ= 时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为 平方百米

【解析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0， ）．（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ= 时，f （θ）取最大值．