Question

【题目】已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算，若今年的实际销售单价为元/件，则新增的年销量（万件）.

（Ⅰ）写出今年商户甲的收益（单位：万元）与的函数关系式；

（Ⅱ）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先表示出年销售量和单件利润，进而得到收益的表达式，并写出定义域；（Ⅱ）求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性和极值，进而求出函数的最值，再与去年的收益比较得到答案．

详解：（Ⅰ）由题意知，今年的年销售量为（万件）.

因为每销售一件，商户甲可获利元，

所以今年商户甲的收益

（Ⅱ）由

得

令，解得或

当时，，是增函数；

当时，，是减函数；

当时，，是增函数；

∴为极大值点，极大值为

∵，∴当或2时，在区间上的最大值为1（万元），而往年的收益为（万元），

所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.