题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:
对
恒成立.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】分析:(1)由函数的解析式可得,分类讨论有:
①若,当
时,
单调递增,当
时,
单调递减.
②若,当
时,
单调递减,当
时,
单调递增.当
时,
单调递减.
③若,当
时,
单调递减.
④若,当
时,
单调递减,当
时,
单调递增,当
时,
单调递减.
⑤若,当
时,
单调递增,当
时,
单调递减,当
时,
单调递增.
(2)不等式等价于.
令,由均值不等式可得
.结合(1)的结论可知当
时,
.令
,则
,故
,原命题成立.
详解:(1),
①若,当
时,
,此时
单调递增,
当时,
,此时
单调递减.
②若,当
时,
,此时
单调递减,
当时,
,此时
单调递增.
当时,
,此时
单调递减.
③若,当
时,
,此时
单调递减.
④若,当
时,
,此时
单调递减,
当时,
,此时
单调递增,
当时,
,此时
单调递减.
⑤若,当
时,
,此时
单调递增,
当时,
,此时
单调递减,
当时,
,此时
单调递增.
(2)将整理可得:
,即
.
令,则
,
当且仅当时取等号,即
.
当时,由(1)可知,
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以.
令,则
在
上单调递减,
所以,所以
,
即对
恒成立.
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