Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：对恒成立.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】分析：(1）由函数的解析式可得，分类讨论有：

①若，当时，单调递增，当时，单调递减.

②若，当时，单调递减，当时，单调递增.当时，单调递减.

③若，当时，单调递减.

④若，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减.

⑤若，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.

(2）不等式等价于.

令，由均值不等式可得.结合(1)的结论可知当时，.令，则，故，原命题成立.

详解：(1），

①若，当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减.

②若，当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增.

当时，，此时单调递减.

③若，当时，，此时单调递减.

④若，当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减.

⑤若，当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增.

(2）将整理可得：

，即.

令，则，

当且仅当时取等号，即.

当时，由(1）可知，在上单调递增，在上单调递减，

所以.

令，则在上单调递减，

所以，所以，

即对恒成立.