Question

【题目】已知函数满足，且在上为增函数，，则不等式的解集为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由f（﹣x）＝﹣f（x），化简不等式得．再分x＞0和x＜0时两种情况加以讨论，利用函数的单调性和f（1）＝0，分别解关于x的不等式得到x的取值范围，最后综合可得原不等式的解集．

∵函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x）（x∈R），

∴f（x）﹣f（﹣x）＝f（x）+f（x）＝2f（x），

因此，不等式等价于，

化简得或，

①当x＞0时，由于在（0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）＝0，

∴由不等式f（x）≤0＝f（1），得0＜x≤1；

②当x＜0时，﹣x＞0，

不等式f（x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x）≤0＝f（1），

解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．

综上所述，原不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．

故答案为：[﹣1，0）∪（0，1]