题目内容
【题目】已知函数,若
存在唯一的零点
,且
,则
的取值范围是
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】当a=0时,f(x)==0,解得
,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;
当a>0时,令,,解得x=0或
>0,列表如下:
∵x→∞,f(x)→∞,而f(0)=1>0,
∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去。
当a<0时,f′(x)=3ax26x=3ax(x)=0,,解得x=0或x=
<0,列表如下:
而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→∞,
∴存在x0>0,使得f(x0)=0,
∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,
∴极小值f()>0,化为a2>4,
∵a<0,∴a<2.
综上可知:a的取值范围是(∞,2).
故选:A.
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