题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)若F为AB中点, ,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为-

【答案】
(1)解:证明:∵PA⊥底面ABCD,AB底面ABCD,∴PA⊥AB,

又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD,PA∩AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD,

∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E为PD中点,∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE平面ABE,AB平面ABE,∴PD⊥平面ABE.


(2)解:以A为原点,以 为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系A﹣BDP,令|AB|=2,

则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,0), ,M(2λ,2λ,2﹣2λ)

设平面PFM的法向量 ,即

设平面BFM的法向量

,解得


【解析】(I)证明AB⊥平面PAD,推出AB⊥PD,AE⊥PD,AE∩AB=A,即可证明PD⊥平面ABE.(II) 以A为原点,以 为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系A﹣BDP,求出相关点的坐标,平面PFM的法向量,平面BFM的法向量,利用空间向量的数量积求解即可.

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