题目内容
【题目】如图所示,某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段
上建一个活动中心,其中
米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形
,上部分是以
为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长
不超过
米,其中该太阳光线与水平线的夹角
满足
.
(1)若设计米,
米,问能否保证上述采光要求?
(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计与
的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中
取3)
【答案】(Ⅰ)能(Ⅱ)米且
米
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由条件知研究直线与圆相切,所以建立坐标系:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,,确定圆的方程,求出切线方程,解出切线与直线交点,最后判断
是否满足不超过
米这个条件(Ⅱ)同(1)建立坐标系,设立圆的方程:圆心为
,半径为
,求出切线方程
,解出切线与直线交点,根据
不超过
米这个条件列参数限制条件
,最后根据活动中心的截面面积关系式求最值:
试题解析:解:如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
(1)因为,
,所以半圆的圆心为
,
半径.设太阳光线所在直线方程为
,
即, ...............2分
则由,
解得
或
(舍).
故太阳光线所在直线方程为, ...............5分
令,得
米
米.
所以此时能保证上述采光要求. ...............7分
(2)设米,
米,则半圆的圆心为
,半径为
.
方法一:设太阳光线所在直线方程为,
即,由
,
解得或
(舍). ...............9分
故太阳光线所在直线方程为,
令,得
,由
,得
. ...............11分
所以
.
当且仅当时取等号.
所以当米且
米时,可使得活动中心的截面面积最大. .............16分
方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长EG恰为米,则此时点
为
,
设过点G的上述太阳光线为,则
所在直线方程为y-=-(x-30),
即. ........10分
由直线与半圆H相切,得
.
而点H(r,h)在直线的下方,则3r+4h-100<0,
即,从而
. ...............13分
又.
当且仅当时取等号.
所以当米且
米时,可使得活动中心的截面面积最大. ...........16分
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