题目内容

12.如图C是△PAB边AB内的一点,下列说法正确的是(  )
A.PCsin(α+β)=PBsinα+PAsinβB.PCsin(α+β)=PAsinα+PBsinβ
C.$\frac{sin(α+β)}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$D.$\frac{sin(α+β)}{PC}$=$\frac{sinα}{PA}$+$\frac{sinβ}{PB}$

分析 根据正弦定理,进行转化进行证明即可.

解答 解:∵$\frac{sin(α+β)}{AB}=\frac{sinA}{PB}$,$\frac{sinα}{AC}=\frac{sinA}{PC}$,
∴AB=$\frac{PB•sin(α+β)}{sinA}$,
AC=$\frac{sinα•PC}{sinA}$,
∵$\frac{sinβ}{BC}=\frac{sinB}{PC}$,
∴BC=$\frac{sinβ•PC}{sinB}$,
∵AB=AC+BC,
∴$\frac{PB•sin(α+β)}{sinA}$=$\frac{sinα•PC}{sinA}$+$\frac{sinβ•PC}{sinB}$,
即sinα•PC+sinβPC$•\frac{PB}{PA}$=PB•sin(α+β),
即sinα•PC•PA+sinβ•PB•PC=PA•PB•sin(α+β),
两边同除以PA•PB•PC得$\frac{sin(α+β)}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$,
故选:C.

点评 本题主要考查解三角形的应用,利用正弦定理是解决本题的关键.

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