Question

（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BB₁=2,BC=2，D为B₁C₁的中点。
（Ⅰ）证明：B₁C⊥面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角B—AC—B₁的大小。

Answer 1

方法一：
（Ⅰ）证明：在Rt△BB₁D和Rt△B₁C₁C中，
由 得
△BB₁D∽△B₁C₁C，∠B₁DB=∠B₁CC₁。
又 ∠CB₁D+∠B₁CC₁=90°
故 ∠CB₁D+∠B₁DB=90°
故 B₁C⊥BD.·····················3分
又 正三棱柱ABC—A₁B₁C₁，D为B₁C₁的中点。
由 A₁D⊥平面B₁C，
得 A₁D⊥B₁C
又A₁D∩B₁D=D，
所以 B₁C⊥面A₁BD。···················································6分
（Ⅱ）解：设E为AC的中点，连接BE．B₁E。
在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C=B₁A，∴B₁E⊥AC，BE⊥AC，
即 ∠BEB₁为二面角B—AC—B₁的平面角·································9分
又
故
所以 二面角的大小为······································12分
方法二：
（Ⅰ）证明：设BC的中点为O，如图建立空间直角坐标系O—xyz
依题意有
则
由
故 
又 
所以
故
又 BD∩BA₁=B
所以 B₁C⊥面A₁BD，
（Ⅱ）依题意有

设⊥平面ACB₁，⊥平面ABC。
求得
故
所以 二面角的大小为

略