题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数的极小值为0,求
的值;
(2)且
,求证:
.
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】
(1)根据导数在定义域内是否有零点确定分类讨论的标准为和
,然后分别讨论导数的符号,确定当
时在
处取得极小值
,再通过讨论
的单调性,从而由
有唯一解
.
(2)一方面,可以将问题等价转化为证当时,
恒成立问题,然后构造函数
,通过其导数确定单调性,从而使问题得证;另一方面,也可以直接构造函数
(
),由其二阶导数以及
的范围确定一阶导数的单调性,从而确定
的符号,进而确定
的单调性,可得
,使问题得证.
(Ⅰ)因为
所以,
当时,
,函数
在定义域上递增,不满足条件;
当时,函数
在
上递减,在
上递增,
故在
取得极小值0,
,
令,
,所以
在(0,1)单调递增,
在单调递减,故
,
的解为
,
故.
(2)证法1:由,
,所以只需证当
时,
恒成立.
令
由(1)可知,令
得
在
上递增,故
,所以命题得证.
证法2:,
设(
),则
,
则,又
,
,得
,
所以单调递增,得
,
所以单调递增,得
,得证.
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