题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,平面
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
夹角的余弦值,
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)结合题中数据在四边形中证得
,由平面
面
,得
平面
,所以
,又
,可得
平面
;(2)以
坐标原点,分别以
在的直线为
、
轴,在底面
内点过点
作
垂线为
轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标,分别求出平面
与平面
的法向量,然后计算其夹角,由二面角的平面角与法向量的关系得到答案.
解(1),
,
.
,根据勾股定理可知
.
又平面
面
,且平面
平面
,
平面
.
.
又,
平面
.
(2)以坐标原点,分别以
在的直线为
、
轴,在底面
内点过点
作
垂线为
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
所以,
,
设平面法向量为
,
则,
取,
,
平面
一个法向量为
,
设平面法向量为
,
则,
取,
,
平面
一个法向量为
,
由图易知平面与平面
夹角为锐角
所以平面 平面
成夹角的余弦值为
.
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