题目内容
【题目】(本题满分15分)如图,在半径为的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上,将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),记圆柱形罐子的体积为
.
(1)按下列要求建立函数关系式:
①设,将
表示为
的函数;
②设(
),将
表示为
的函数;
(2)请您选用(1)问中的一个函数关系,求圆柱形罐子的最大体积.
【答案】(1)①,(
)
②,(
)
(2)
【解析】
试题(1)要将实际问题转化为函数问题,根据题意构建数学模型,利用直角三角形 求底面圆的半径
,进而列出函数关系式(2)求体积的最大值转化为求函数的最大值,先求导,再判断单调性,再求最值。
试题解析:解:(1)①,
,
,(
) 4分
②,
,
,(
) 8分
(2)选用:
,
,
令 ,则
10分
列表得:
单调增 | 极大值 | 单调减 |
(不列表,利用导函数的符号,判断出单调性同样得分)
选用:令
,
,
令 ,则
10分
列表得:
单调增 | 极大值 | 单调减 |
,即
15分
(对直接求导求解也得分,
)
答:圆柱形罐子的最大体积为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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