题目内容
【题目】已知椭圆的左焦点为
,左顶点为
,离心率为
,点
满足条件
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆
交于
两点,记
和
的面积分别为
,证明:
.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,
利用
求
的值;
(Ⅱ)方法一:分类讨论,设出直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理证明,求出面积,即可得出结论;
方法二:依题意可设直线的方程为:
,代入椭圆方程,利用韦达定理证明
,求出面积,即可得出结论;
试题解析:(Ⅰ)椭圆的标准方程为:
∴,
则,
∵,解得
(Ⅱ)方法一:
①若直线的斜率不存在,则
,
,符合题意
②若直线的斜率存在,因为左焦点
,则可设直线
的方程为:
,
并设.
联立方程组,消去
得:
∴,
∵
∴
∵,
∴
方法二:依题意可设直线的方程为:
,并设
.—5分
联立方程组,消去
,得
∴,
∵
∴
∵,
∴
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