题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,倾斜角为
的直线
经过椭圆
的右焦点且与圆
相切.
(1)求椭圆 的方程;
(2)若直线与圆
相切于点
,且交椭圆
于
两点,射线
于椭圆
交于点
,设
的面积于
的面积分别为
.
①求的最大值;
②当取得最大值时,求
的值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据离心率为、圆心到直线距离等于半径,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得椭圆
的方程;(2) 直线
与圆
相切得:
,将直线
代入椭圆
的方程得:
①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面积公式可得
,利用基本不等式可得结果;②当
取得最大值时,
,
.
试题解析:(1)依题直线的斜率
.设直线
的方程为
,
依题有:
(2)由直线与圆
相切得:
.
设.将直线
代入椭圆
的方程得:
,且
.
设点到直线
的距离为
,故
的面积为:
,
当.等号成立.故
的最大值为1.
设,由直线
与圆
相切于点
,可得
,
.
.,
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积最值的.
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