Question

已知f(x)=log_ax(a＞0且a≠1)，设f(a₁),f(a₂),…,f(a_n) (n∈N^*)是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{a_n}成等比数列；
（2）若b_n=a_nf(a_n),{b_n}的前n项和是S_n，当a=时，求S_n.

Answer 1

（1）证明见解析（2）S_n=n·2ⁿ⁺³

（1）证明 f(a_n)=4+(n-1)×2=2n+2,
即log_aa_n="2n+2,                                                  " 2分
可得a_n=a²ⁿ⁺².
∴===a²（n≥2）为定值.                              4分
∴{a_n}为等比数列.                                                     6分
(2)解  b_n=a_nf(a_n)=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=(2n+2)a²ⁿ⁺².
当a=时，b_n=(2n+2)()²ⁿ⁺²=(n+1)2ⁿ⁺².                                8分
S_n=2·2³+3·2⁴+4·2⁵+…+(n+1)·2ⁿ⁺²                            ①
2S_n=2·2⁴+3·2⁵+4·2⁶+…+n·2ⁿ⁺²+(n+1)·2ⁿ⁺³                     ②
①-②得
-S_n=2·2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²-(n+1)·2ⁿ⁺³
=16+-(n+1)2ⁿ⁺³
=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n·2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³=-n·2ⁿ⁺³.
∴S_n=n·2ⁿ⁺³.                                                  14分