题目内容
已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2=an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Bn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Bn.
(1) 数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2) (1-)=-.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2) (1-)=-.
(1)∵对任意的正整数n,2=an+1 ①
恒成立,
当n=1时,2=a1+1,即(-1)2=0,
∴a1=1.
当n≥2时,有2=an-1+1. ②
①2-②2得4an=an2-an-12+2an-2an-1,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴an+an-1>0.∴an-an-1=2.
∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵an+1=2n+1,
∴bn==(-).
∴Bn=b1+b2+b3+…+bn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)=-.
恒成立,
当n=1时,2=a1+1,即(-1)2=0,
∴a1=1.
当n≥2时,有2=an-1+1. ②
①2-②2得4an=an2-an-12+2an-2an-1,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴an+an-1>0.∴an-an-1=2.
∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵an+1=2n+1,
∴bn==(-).
∴Bn=b1+b2+b3+…+bn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)=-.
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