题目内容

在自然条件下,某草原上野兔第n年年初的数量记为xn,该年的增长量yn和 xn的乘积成正比,比例系数为,其中m是与n无关的常数,且x1<m,
(1)证明:;
(2)用 xn表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.
(1)详见解析;(2),证明用数学归纳法,过程详见解析.

试题分析:(1)由已知可得yn是xn的一个二次函数,利用配方法,注意到就可证明;(2)由已知有该年的增长量,所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用 xn表示xn+1;证明草原上的野兔总数量恒小于m,即证对一切非零自然数n,都有xn<m,可考虑用数学归纳法来证明:当n=1时显然成立;再假设当时,命题成立,则对n=k+1时,由于是xk的一个二次函数,结合二次函数的性质,可证成立,从而有对一切正整数n,,即是草原上的野兔总数量恒小于m.
试题解析:(1)由题意知 ,配方得: ∵∴当且仅当时,取得最大值,即                                  (5分)
(2)                                                    (8分)
用数列归纳法证明:
当n=1时,由题意知,故命题成立
假设当时,命题成立
是xk的一个二次函数有对称轴,开口向下,由,则,于是在上均有=m
,即知,∴当时,命题成立,综上知,对一切正整数n,这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长                                  (13分)
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