Question

5．已知函数y=f（x），x∈[0，+∞），已知当x∈[0，4]时，f（x）=x²-4x，若对[0，+∞）内任意实数x，恒有f（x+4）=m•f（x）（m∈R，m≠0）成立，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 当x∈[0，4]时，f（x）=x²-4x∈[-4，0]，结合函数的伸缩变换原则，对m进行分类讨论，可得不同情况下函数f（x）的值域．

解答 解：∵当x∈[0，4]时，f（x）=x²-4x∈[-4，0]，
∵对[0，+∞）内任意实数x，恒有f（x+4）=m•f（x），
故当m∈（0，1]时，函数f（x）的值域为[-4，0]，
当m∈（1，+∞）时，函数f（x）的值域为（-∞，0]，
当m∈（-∞，-1）时，函数f（x）的值域为R；
m∈[-1，0）时，函数f（x）的值域为[-4，-4m]

点评 本题考查的知识点是函数图象的伸缩变换，熟练掌握函数的伸缩变换原则，是解答的关键．