Question

20．已知（2$\sqrt{x}$i+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ，i是虚数单位，x＞0，n∈N^*．
（1）如果展开式中的倒数第3项的系数是-180，求n的值；
（2）对（1）中的n，求展开式中系数为正实数的项．

Answer 1

分析 （1）根据二项式的展开式中倒数第3项的系数，列出方程，求出n的值；
（2）由（1）中n的值，利用二项展开式的通项公式，求出展开式中系数为正实数的项．

解答 解：（1）∵（2$\sqrt{x}$i+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ，i是虚数单位，x＞0，n∈N^*．
∴其展开式中的倒数第3项为
${C}_{n}^{n-2}$•${（2\sqrt{x}i）}^{2}$•${（\frac{1}{{x}^{2}}）}^{n-2}$=-4${C}_{n}^{2}$•x^5-2n；
它的系数是-4${C}_{n}^{2}$=-180，
即${C}_{n}^{2}$=45，
解得n=10；
（2）当n=10时，
T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（2\sqrt{x}i）}^{10-r}$•${（\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$
=${C}_{10}^{r}$•2^10-r•i^10-r•${x}^{5-\frac{5}{2}r}$，
令10-r=0、4、8，
得r=10、6、2；
∴当r=10时，T₁₁=x^-20，
r=6时，T₇=${C}_{10}^{6}$•2⁶•x^-5，
r=2时，T₃=${C}_{10}^{2}$•2⁸；
∴展开式中系数为正实数的项为
T₁₁=x^-20，T₇=${C}_{10}^{6}$•2⁶•x^-5，T₃=${C}_{10}^{2}$•2⁸．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了复数的运算问题，是综合题目．