Question

15．已知函数y=2x²+3，在P点（1，5）处的切线为4x-y+1=0；过Q点（2，9）的切线为4x-y+1=0或12x-y-15=0．

Answer 1

分析 欲求在点（1，5）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；设切点坐标，可得切线方程，将Q（2，9）及y₀=2x₀²+3代入求出切点坐标，从而可求出切线方程．

解答 解：∵y=2x²+3，∴y′=4x，
∴x=1时，y′=4，
∴曲线y=2x²+3在点P（1，5）处的切线方程为：y-5=4（x-1），
即y=4x+1；
又∵y=2x²+3，∴y′=4x，
设切点坐标为（x₀，y₀），则切线方程为y-y₀=4x₀（x-x₀）．
将Q（2，9）及y₀=2x₀²+3代入，可得9-2x₀²-3=4x₀（2-x₀），
解得x₀=1或x₀=3，
∴设切点坐标为（1，5）或（3，21），
∴曲线过点Q（2，9）的切线方程为4x-y+1=0或12x-y-15=0．
故答案为：4x-y+1=0，4x-y+1=0或12x-y-15=0．

点评 本题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．