Question

10．直线y=x+b（b≠0）交抛物线y=$\frac{1}{2}$x²于A、B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为2．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数关系得x₁+x₂和x₁x₂，由OA⊥OB，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，再由数量积的运算列出关于b的方程，代入坐标的和与积后求解b的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得，x²-2x-2b=0，
则△（-2）²-4×（-2b）=4+8b＞0，
且x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
∴2×（-2b）+2b+b²=0，即-2b+b²=0，
∵b≠0，∴b=2，满足△=4+8×2=20＞0．
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量的数量积运算，以及一元二次方程的根与系数的关系，是中档题．