题目内容
【题目】如图，圆柱体木材的横截面半径为
，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱
，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心
在梯形
内部，
，
，
，设
.
（1）求梯形的面积；
（2）当
取何值时，直四棱柱的体积最大？并求出最大值（注：木材的长度足够长）
【答案】（1）
；（2）当
时，体积取最大值为
【解析】
（1）根据等腰梯形的性质，结合锐角三角函数的定义可以求出
、以及等腰梯形的高、
、
的表达式，最后求出等腰梯形的面积表达式即可；
（2）利用棱柱的体积公式求出四棱椎体积的表达式，令
，进行换元，利用导数求出体积的最大值即可.
（1）由条件可得，
，所以梯形的高
.
又
，
.所以梯形
的面积
.
（2）设四棱柱
的体积为
，因为
，
所以
.
设，因为
，所以
，所以
，，
由
，令
，得
，
与
的变化情况列表如下：
|
|
|
|
| + | 0 | － |
| ↗ | 极大值 | ↘ |
所以，在时取得极大值，即为最大值，且最大值
.此时
答：当时，四棱柱的体积取最大值为.
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