题目内容
【题目】已知函数
， 
.
（1）当
时，求函数
的曲线上点
处的切线方程；
（2）当
时，求
的单调区间；
（3）若
有两个极值点
， 
，其中
，求
的最小值.
【答案】(1) 
(2) 见解析(3) 
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到
， 
，得到结果；（2）对函数求导分情况讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（3）构造函数研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，进而得到函数最值。
解析：
解：（1）当
时， 
所以
，
又
过切点
的切线方程为
即： 
（2）由题意得： 
， 
令
当
时， 
， 
在
上单调递增.
②当
时，令
，解得： 
或
令
，解得： 
综上，当
时， 
的单调增区间为
，
当
时，单调增区间为
， 
单调减区间为
（3）由（2）知， 
， 
由题意知， 
， 
是方程
的两根
， 
， 
， 
， 
令
当
时， 
在
上单调递减， 
即
的最小值为
.
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【题目】已知函数
．
（
）当
时，求此函数对应的曲线在
处的切线方程．
（
）求函数
的单调区间．
（
）对
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
【答案】（
）
;（
）见解析;（
）当
时， 
，当
时
【解析】试题分析：（1）利用导数的意义，求得切线方程为
；（2）求导得
，通过
， 
， 
分类讨论，得到单调区间；（3）分离参数法，得到
，通过求导，得
， 
．
试题解析：
（
）当
时， 
，
∴
， 
，
，∴切线方程
．
（
）
．
令
，则
或
，
当
时， 
在
， 
上为增函数．
在
上为减函数，
当
时， 
在
上为增函数，
当
时， 
在
， 
上为单调递增，
在
上单调递减．
（
）当
时， 
，
当
时，由
得
，对
恒成立．
设
，则
，
令
得
或
，
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极小 |
|
，∴
， 
．
点睛：本题考查导数在函数综合题型中的应用。含参的函数单调性讨论，考查学生的分类讨论能力，本题中，结合导函数的形式，分类讨论；含参的恒成立问题，一般采取分离参数法，解决恒成立。
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知集合
，集合
且满足：
， 
， 
与
恰有一个成立．对于
定义
．
（
）若
， 
， 
， 
，求
的值及
的最大值．
（
）取
， 
， 
， 
中任意删去两个数，即剩下的
个数的和为
，求证： 
．
（
）对于满足
的每一个集合
，集合
中是否都存在三个不同的元素
， 
， 
，使得
恒成立，并说明理由．
【题目】设某地区乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
储蓄存款 | 3.5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.5 |
（1）求关于
的回归方程
，并预测该地区2019年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）.
（2）在含有一个解释变量的线性模型中，
恰好等于相关系数
的平方，当
时，认为线性回归模型是有效的，请计算并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到
）.
附：
, 
.
【题目】某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评.同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润
关于年份代号
的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年利润 | 29 | 33 | 36 | 44 | 48 | 52 | 59 |
（1）求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年的年利润；
（2）当统计表中某年年利润的实际值大于由（1）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年.现从2015年至2019年这5年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率.
参考公式：
，
