题目内容
【题目】已知函数.
()当
时,求此函数对应的曲线在
处的切线方程.
()求函数
的单调区间.
()对
,不等式
恒成立,求
的取值范围.
【答案】()
;(
)见解析;(
)当
时,
,当
时
【解析】试题分析:(1)利用导数的意义,求得切线方程为;(2)求导得
,通过
,
,
分类讨论,得到单调区间;(3)分离参数法,得到
,通过求导,得
,
.
试题解析:
()当
时,
,
∴,
,
,∴切线方程
.
()
.
令,则
或
,
当时,
在
,
上为增函数.
在上为减函数,
当时,
在
上为增函数,
当时,
在
,
上为单调递增,
在上单调递减.
()当
时,
,
当时,由
得
,对
恒成立.
设,则
,
令得
或
,
极小 |
,∴
,
.
点睛:本题考查导数在函数综合题型中的应用。含参的函数单调性讨论,考查学生的分类讨论能力,本题中,结合导函数的形式,分类讨论;含参的恒成立问题,一般采取分离参数法,解决恒成立。
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知集合,集合
且满足:
,
,
与
恰有一个成立.对于
定义
.
()若
,
,
,
,求
的值及
的最大值.
()取
,
,
,
中任意删去两个数,即剩下的
个数的和为
,求证:
.
()对于满足
的每一个集合
,集合
中是否都存在三个不同的元素
,
,
,使得
恒成立,并说明理由.
【答案】()
,
;(
)见解析;(
)存在.
【解析】试题分析:(1);(2)
,设删去的两个数为
,
,则
,所以
;(3)由
可知
,
,
中存在最大数,不妨记为
,所以
,
,
即.
试题解析:
()∵
,
,
,∴
,
,
,故
.
∵,∴
,
∴.
()
,
∴
.
设删去的两个数为,
,
则,
∴,
,且其中只有一个不等式中等号成立,不妨让
时,
,
,∴
.
∴,
∴.
()对
的每一个集合
,集合
中都存在三个不同元素
,
,
,使
恒成立,
任取集合,由
可知
,
,
中存在最大数,不妨记为
.
∵,存在
,使
,即
,
由可设集合
,
则中一定在元素
,使得
,
否则,与
最大数矛盾,
∴,
,
即.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某电视台为宣传本市,随机对本市内岁的人群抽取了
人,回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ,统计结果如图表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | a | 0.5 |
第2组 | [25,35) | 18 | x |
第3组 | [35,45) | b | 0.9 |
第4组 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5组 | [55,65] | 3 | y |
(1)分别求出的值;
(2)根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数;
(3)若第1组回答正确的人员中,有2名女性,其余为男性,现从中随机抽取2人,求至少抽中1名女性的概率.
【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了50名市民,得到数据如下表:
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?(保留小数点后3位)
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人作进一步调查,将这3位市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)