题目内容
【题目】在
中，内角
、
、
所对的边分别是
、
、
，不等式
对一切实数
恒成立.
（1）求
的取值范围；
（2）当
取最大值，且的周长为
时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状．（参考知识：已知、
，
；、
，
）
【答案】（1）
；（2）
面积的最大值为
，此时为等边三角形.
【解析】
（1）分
和
两种情况讨论，在时检验即可，在时，可得出
，由此可求得
的取值范围；
（2）由（1）知
，利用余弦定理结合基本不等式可求得
的最大值，利用等号成立的条件判断的形状，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
（1）
，则
.
当时，
，原不等式即为
对一切实数
不恒成立；
当时，应有
，
解得
或
（舍去）.
，则
，所以，
，
因此，的取值范围是；
（2），，
的最大值为
.
由余弦定理得
，
由基本不等式可得
，
（当且仅当
时，等号成立）.
的面积为
（当且仅当时，等号成立）.
此时，面积的最大值为，为等边三角形.
【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了50名市民，得到数据如下表：
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 15 | 25 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（
保留小数点后3位）
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取3人作进一步调查，将这3位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
【题目】某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：
（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的
列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？
（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有
人，超过210千卡的有
人，设
，求
的分布列及数学期望.
附： 
，其中
.
参考数据：
| 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
