Question

5．已知椭圆C的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两个点P₁（$\sqrt{6}$，1），P₂（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$）两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，1）作椭圆的弦AB，使点P为弦AB的中点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法设出椭圆的标准方程，将两点坐标代入可得方程组，解方程组得椭圆标准方程；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立得：（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-9=0，利用中点坐标公式即可求直线AB的斜率k；运用韦达定理和弦长公式即可得到所求|AB|的长．

解答 解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）．
∵椭圆经过P₁，P₂点，
∴P₁，P₂点适合椭圆方程，有6m+n=1，3m+2n=1．
解得m=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）若直线的斜率不存在，
则由椭圆的对称性及弦AB的中点为P（1，1），知不成立；
若斜率存在，设斜率为k，
则直线的方程为：y-1=k（x-1），∴y=kx+1-k，
代入椭圆方程，整理得：（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-9=0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{6k（k-1）}{1+3{k}^{2}}$=2，
解得：k=-$\frac{1}{3}$，
当k=-$\frac{1}{3}$时，方程①为：4x²-8x+11=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{11}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$•$\sqrt{4+4×\frac{11}{4}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．