Question

6．已知函数f（x）=（log${\;}_{\frac{1}{4}}$x）²-（log${\;}_{\frac{1}{4}}$x）+5，x∈[$\frac{1}{4}$，4]，则f（x）的最小值是$\frac{19}{4}$．

Answer 1

分析 利用换元法令t=log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，从而化简函数得y=t²-t+5，从而根据二次函数的性质求最小值即可．

解答 解：令t=log${\;}_{\frac{1}{4}}$x，
∵x∈[$\frac{1}{4}$，4]，
∴-1≤t≤1，
y=f（x）=（log${\;}_{\frac{1}{4}}$x）²-（log${\;}_{\frac{1}{4}}$x）+5=t²-t+5，
故当t=$\frac{1}{2}$时，y_min=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$+5=$\frac{19}{4}$，
故答案为：$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查了换元法及二次函数与对数函数的性质应用，注意新变量的取值范围．