已知$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=.其中x.y∈R.且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4.动点P(x.y)的轨迹为L．的轨迹方程,(Ⅱ)已知点F1.过点F2(1.0)的直线l与轨迹L相交于A.B两点.问△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值?若存在.求出这个最大值及直线l� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知$\overrightarrow{a}$=（x+1，y），$\overrightarrow{b}$=（x-1，y），其中x，y∈R，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，动点P（x，y）的轨迹为L．
（Ⅰ）求动点P（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点F₁（-1，0），过点F₂（1，0）的直线l与轨迹L相交于A，B两点，问△ABF₁的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）直接由已知结合|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，求得动点P（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）把△ABF₁的内切圆的面积最大转化为△ABF₁的面积最大，设出直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，转化为关于y的一元二次方程，由函数的单调性求得使△ABF₁的面积最大的m值，进一步求得内切圆面积的最大值．

解答解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（x+1，y），$\overrightarrow{b}$=（x-1，y），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，
得：$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=4$．
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）若△ABF₁的内切圆的面积最大，即内切圆的半径最大，
∵△ABF₁的周长为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的长轴长的2倍为定值，
则△ABF₁的面积最大．
设直线l的方程为x=ty+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4×（-\frac{9}{3{m}^{2}+4}）}$
=$\sqrt{\frac{36{m}^{2}+36（3{m}^{2}+4）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{144（{m}^{2}+1）}{[3（{m}^{2}+1）+1]^{2}}}$=$\sqrt{\frac{144}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$．
当m²+1=1，即m=0时，|y₁-y₂|_max=3．
此时△ABF₁的面积最大，最大值为$\frac{1}{2}×2×3=3$．
设△ABF₁的内切圆的半径为r，则$\frac{1}{2}×4×2r=3$，r=$\frac{3}{4}$，
内切圆的面积为$\frac{9}{16}π$，此时直线l的方程为x=1．