Question

9．设函数$f（{x\;，\;y}）={（{\frac{2}{m}-\frac{m}{y}}）^x}\;（{m＞0\;，\;y＞0}）$，
（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；
②若$f（{6\;，\;y}）={a_0}+\frac{a_1}{y}+…+\frac{a_6}{y^6}$，且a₁=-12，求$\sum_{i=1}^6{a_i}$；
（2）利用二项式定理求$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}{k^2}C_n^k}$的值（n≥1，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；
②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算$\sum_{i=1}^6{a_i}$的值；
（2）根据题意，构造函数f（x）=（1-x）ⁿ，利用二项式定理展开并求导数，
两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果．

解答 解：（1）①当m=2时，f（4，y）=${（1-\frac{2}{y}）}^{4}$ 的展开式中
共有5项，二项式系数最大的项为第三项，
∴T₃=${C}_{4}^{2}$•1²•${（-\frac{2}{y}）}^{2}$=$\frac{24}{{y}^{2}}$；
②f（6，y）=${（\frac{2}{m}-\frac{m}{y}）}^{6}$ 的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\frac{2}{m}）}^{6-r}$•（-1）^r•${（\frac{m}{y}）}^{r}$
=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•2^6-r•m^2r-6•${（\frac{1}{y}）}^{r}$，
且f（6，y）=a₀+$\frac{{a}_{1}}{y}$+…+$\frac{{a}_{6}}{{y}^{6}}$，
∴$\frac{1}{y}$的系数为a₁=-6×32×m^-4=-12，
解得m=2；
∴f（6，y）=${（\frac{2}{m}-\frac{m}{y}）}^{6}$=${（1-\frac{2}{y}）}^{6}$ 的通项公式为
T_r+1=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•2^r•${（\frac{1}{y}）}^{r}$，
∴a_r=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•2^r ，r=0，1，2，…，6；
∴$\sum_{i=1}^6{a_i}$=-${C}_{6}^{1}$•2+${C}_{6}^{2}$•2²-${C}_{6}^{3}$•2³+…+${C}_{6}^{6}$•2⁶
=${C}_{6}^{0}$-${C}_{6}^{1}$•2+${C}_{6}^{2}$•2²-${C}_{6}^{3}$•2³+…+${C}_{6}^{6}$•2⁶-${C}_{6}^{0}$
=（1-2）⁶-1
=0；
（2）∵$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}{k^2}C_n^k}$=-${C}_{n}^{1}$+2²•${C}_{n}^{2}$-3²•${C}_{n}^{3}$+4²•${C}_{n}^{4}$+…+（-1）ⁿ•n²•${C}_{n}^{n}$，
∴设f（x）=（1-x）ⁿ=C_n⁰-C_n¹x+C_n²x²-C_n³x³+…+（-1）ⁿ•C_nⁿxⁿ…①，
①式两边求导得：
-n（1-x）^n-1=-C_n¹+2C_n²x-3C_n³x²+…+（n-1）•（-1）^n-1•C_n^n-1x^n-2+n•（-1）ⁿ•C_nⁿx^n-1…②，
②的两边同乘x得：
-nx（1-x）^n-1=-xC_n¹+2C_n²x²-3C_n³x³+…+（n-1）•（-1）^n-1•C_n^n-1x^n-1+n•（-1）ⁿ•C_nⁿxⁿ…③，
③式两边求导得：
-n（1-x）^n-1-n（n-1）x（1-x）^n-2=-C_n¹+2²C_n²x-3²C_n³x²+…+（n-1）²•（-1）^n-1•C_n^n-1x^n-2
+n²•（-1）ⁿ•C_nⁿx^n-1…④，
④中令x=1，得-${C}_{n}^{1}$+2²•${C}_{n}^{2}$-3²•${C}_{n}^{3}$+4²•${C}_{n}^{4}$+…+（-1）ⁿ•n²•${C}_{n}^{n}$=0，
即$\sum_{k=1}^n{{{（-1）}^k}{k^2}C_n^k}$=0．

点评 本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数导数的应用问题和赋值法求值问题，是综合题．