Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则函数f（x+1）是（　　）

• A． 周期为4的奇函数
• B． 周期为4的偶函数
• C． 周期为2π的奇函数
• D． 周期为2π的偶函数

Answer 1

分析 根据三角函数的图象求出函数周期，表示出A，B的坐标，结合向量$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0求出ω，求出f（x+1）的表达式进行判断．

解答 解：函数的周期T=$\frac{2π}{ω}$，
则A点的横坐标为$\frac{1}{4}$T=$\frac{2π}{ω}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{π}{2ω}$，B点的横坐标为$\frac{3}{4}$T=$\frac{2π}{ω}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3π}{2ω}$，
即A（$\frac{π}{2ω}$，$\sqrt{3}$），B（$\frac{3π}{2ω}$，$-\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴（$\frac{π}{2ω}$，$\sqrt{3}$）•（$\frac{3π}{2ω}$，$-\sqrt{3}$）=0，
即$\frac{3{π}^{2}}{4{ω}^{2}}$-3=0，
解得ω=$\frac{π}{2}$，
即f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x，
则f（x+1）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$（x+1）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{2}$x，为偶函数，
周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，利用向量数量积的关系求出ω是解决本题的关键．