Question

14．已知x是实数，[x]表示不超过x的最大整数．若a_n=[log₂n]．S_n为数列{a_n}的前n项和，求${S}_{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由题目给出的定义，逐步分析得到规律，结合[log₂（2^m+1-1）]=m，由错位相减法求出数列的和．

解答 解：由[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
[log₂2²]=[log₂（2²+1）]=…=[log₂（2³-1）]=2，
…
[log₂2^n-1]=[log₂（2^n-1+1）]=…=[log₂（2ⁿ-1）]=n-1．
[log₂2ⁿ]=n．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂2ⁿ]
=0+1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n．
记S=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1，
2S=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ，
相减可得-S=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-1）•2ⁿ，
化简可得S=（n-2）•2ⁿ+2，
则有${S}_{{2}^{n}}$=（n-2）•2ⁿ+2+n．

点评 本题考查了对数的运算性质，关键是对运算规律的探究，考查了学生的灵活处理问题的能力和进行繁杂运算的能力，是有一定难度的题目．