Question

3．已知二次函数f（x）=x²-mx+2满足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x）．
命题p：上列二次函数f（x）当x∈[0，a]时，最大值是2．
命题q：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅．
若命题“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意得出二次函数f（x）的对称轴，从而求出m的值，再求命题p、q为真命题时a的取值范围，
从而得出命题“p∧q”为假，“p∨q”为真时a的取值范围．

解答 解：∵二次函数f（x）=x²-mx+2满足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），
∴函数f（x）=x²-mx+2的对称轴为：x=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{m}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得m=3，
∴f（x）=x²-3x+2；
则命题p：函数f（x）在x∈[0，a]上的最大值是2，∴0＜a≤3；
命题q：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅，
则△≤0，即（a-1）²-4a²≤0，解得a≥$\frac{1}{3}$或a≤-1；
当命题“p∧q”为假，“p∨q”为真时，p、q一真一假；
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤3}\\{-1＜a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{3}$；
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a＞3}\\{a≤-1或a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得a≤-1或a＞3；
综上，实数a的取值范围是{a|a≤-1或0＜a＜$\frac{1}{3}$或a＞3}．

点评 本题考查了复合命题的真假性判断问题，也考查了二次函数与不等式的解法与应用问题，是综合性题目．