Question

2．试推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．

Answer 1

分析 设两定点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），动点P（x，y）到两定点F₁，F₂）距离之和为定值2a（a＞c），代入两点间距离公式，化简可得椭圆的标准方程．

解答 解：到两定点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）距离之和为定值2a（a＞c）的点P的轨迹为椭圆．…（2分）
设P（x，y），则$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}+\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}$，
∴所以$2a-\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}=\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}$…（4分）
∴${（2a-\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}）^2}={\sqrt{{y^2}+{{（x-c）}^2}}^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{（x+c）^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}={y^2}+{（x-c）^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{（x+c）^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}={y^2}+{（x-c）^2}$
∴$a+\frac{c}{a}x=\sqrt{{y^2}+{{（x+c）}^2}}$（由定义可得x∈[-a，a]，所以$a+\frac{c}{a}x＞0）$…（6分）
∴${a^2}+2cx+\frac{c^2}{a^2}{x^2}={y^2}+{（x+c）^2}$
∴${y^2}+\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}{x^2}={a^2}-{c^2}$，即$\frac{y^2}{{{a^2}-{c^2}}}+\frac{x^2}{a^2}=1$，
因为a＞c，不妨令a²-c²=b²，
∴焦点在x轴上的椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，两点间距离公式，通过移项将等式两边各有一个根号，从而简单方程是解答的关键．