Question

6．已知f（a，b）=$\sqrt{{3}^{2}+（5-a）^{2}}$+$\sqrt{（5-2b）^{2}+（5-b）^{2}}$+$\sqrt{4（b-1）^{2}+（b-a）^{2}}$，其中a，b∈R，则f（a，b）的最小值是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 f（a，b）表示A（-1，5），B（2，a）的距离与C（5，5）与D（2b，b）的距离与BD的距离的和，设C关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点为E（m，n），则f（a，b）≥|AE|，解的答案．

解答 解：f（a，b）=$\sqrt{{3}^{2}+（5-a）^{2}}$+$\sqrt{（5-2b）^{2}+（5-b）^{2}}$+$\sqrt{4（b-1）^{2}+（b-a）^{2}}$表示：
A（-1，5），B（2，a）的距离与C（5，5）与D（2b，b）的距离与BD的距离的和，
所以f（a，b）=|AB|+|CD|+|BD|，
如图所示：

B在直线x=2上，D在直线y=$\frac{1}{2}$x上，
设C关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点为E（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-5}{m-5}=-2\\ \frac{n+5}{2}=\frac{m+5}{4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=7\\ n=1\end{array}\right.$，
∴f（a，b）≥|AE|=4$\sqrt{5}$，当且仅当a=$\frac{7}{2}$，b=$\frac{9}{4}$时取最小值4$\sqrt{5}$，
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的知识点是两点之间的距离，正确理解f（a，b）表示的几何意义，是解答的关键．