题目内容
9.已知椭圆的左、右焦点为F1、F2,若椭圆上存在点P使∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率的取值范围为( )A. | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1) | B. | (0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | C. | [$\frac{1}{2}$,1) | D. | (0,$\frac{1}{2}$] |
分析 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角∠F1PF2达到最大值,由此可得结论.
解答 解:如图,当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,
P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大,
当且仅当P点位于短轴端点P0处时,张角∠F1PF2达到最大值.
∵存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,
∴△P0F1F2中,∠F1P0F2≥60°,
∴Rt△P0OF2中,∠OP0F2≥30°,
所以P0O≤$\sqrt{3}$OF2,即b≤$\sqrt{3}$c,
∴a2-c2≤3c2,可得a2≤4c2,
∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$,
∵0<e<1,
∴$\frac{1}{2}$≤e<1.
故选C.
点评 本题考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点,考查数形结合的数学思想,属于中档题.
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A. | (-1,1) | B. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | C. | (-∞,-1) | D. | (1,+∞) |