题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若在
处取到极值,求
的值;
(2)若在
上恒成立,求
的取值范围;
(3)求证:当时,
.
【答案】(1) ;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】:
试题分析:(1)根据极值的概念得到,可得到参数值;(2)转化为函数最值问题,研究函数的单调性,分
时,
时,
,三种情况讨论单调性,使得最小值大于等于0即可。(3)由(1)知令
,当
时,
,当
时,
,给x赋值:2,3,4,5等,最终证得结果。
解析:(1),
∵在
处取到极值,
∴,即
,∴
,
经检验, 时,
在
处取到极小值.
(2),令
(
),
1°当时,
,
在
上单调递减,又
,
∴时,
,不满足
在
上恒成立.
2°当时,二次函数
开口向上,对称轴为
,过
.
①当,即
时,
在
上恒成立,∴
,从而
在
上单调递增,
又,∴
时,
成立,满足
在
上恒成立;
②当,即
时,存在
,使
时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
∴,又
,∴
,故不满足题意.
3°当时,二次函数
开口向下,对称轴为
,
在
单调递减,
,
∴,
在
上单调递减,又
,∴
时,
,故不满足题意.
综上所述, .
(3)证明:由(1)知令,当
时,
(当且仅当
时取“
”),
∴当时,
.即当
2,3,4,…,
,有
.
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