题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
底面
,
,
,
分别是棱
,
的中点,
为棱
上的一点,且
//平面
.
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)二面角
的余弦值为
.
【解析】
试题分析:(1)求的值,关键是找
在
的位置,注意到
平面
,有线面平行的性质,可得
,由已知
为
中点,由平面几何知识可得
为
中点,从而可得
的值;(2)求证:
,有图观察,用传统方法比较麻烦,而本题由于
底面
,所以
,
,又
,这样建立空间坐标比较简单,故以
为原点,以
分别为
轴,建立空间直角坐标系
,取
,可写出个点坐标,从而得向量
的坐标,证
即可;(3)求二面角
的余弦值,由题意可得向量
是平面
的一个法向量,只需求出平面
的一个法向量,可设平面
的法向量
,利用
,即可求出平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求出二面角
的余弦值.
(1)因为平面
又平面
,平面
平面
,
所以. 3分
因为为
中点,且侧面
为平行四边形
所以为
中点,所以
. 4分
(2)因为底面
,
所以,
, 5分
又,
如图,以为原点建立空间直角坐标系
,设
,则由
可得
6分
因为分别是
的中点,
所以. 7分
. 8分
所以,
所以. 9分
(3)设平面的法向量
,则
即
10分
令,则
,所以
. 11分
由已知可得平面的法向量
11分
所以 13分
由题意知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为
. 14分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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