Question

【题目】设函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，求证：对任意，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）当时，求出导数易得，即，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可得函数在上单调递减，故，即，化简可得所证结论.

试题解析：（1）当时， ， ， ， ，所以函数在点处的切线方程为，即．

（2），定义域为， ．

① 当时， ，故函数在上单调递减；

② 当时，令，得

x
	↘	极小值	↗

综上所述，当时， 在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（3）当时，由（2）可知，函数在上单调递减，显然， ，故，所以函数在上单调递减，对任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．