Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标轴伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交于两点.

（I）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；

（II）设定点，求.

Answer 1

【答案】（I），是椭圆；（II）.

【解析】

试题分析：（I）对曲线两边乘以化为直角坐标为，经过平移和伸缩变换后得到曲线的直角坐标方程为，这是焦点在轴上的椭圆；（II）将直线的参数方程代入曲线的方程中，化简得，写出根与系数关系，，，结合点的几何意义可求得.

试题解析：

（I）曲线的直角坐标方程为：，即，

∴曲线的直角坐标方程为，

∴曲线表示焦点坐标为，，长轴长为4的椭圆.

（II）直线（是参数）

将直线的方程代入曲线的方程中，

得.

设对应的参数方程为，

则，，

结合的几何意义可知，