Question

11．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1，则点F到平面AEC的距离为（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{4\sqrt{21}}{7}$
• D． $\frac{8}{7}$

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，则F（0，0，2），A（2，0，0），E（2，4，1），C（0，4，0），求出平面AEC的法向量，$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，2），即可求出点F到平面AEC的距离．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则F（0，0，2），A（2，0，0），E（2，4，1），C（0，4，0），
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，4，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4y+z=0}\\{-2x+4y=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（2，1，-4），
∵$\overrightarrow{AF}$=（-2，0，2），
∴点F到平面AEC的距离为$\frac{|-4-8|}{\sqrt{4+1+16}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查求点F到平面AEC的距离，考查向量方法的运用，正确求出平面的法向量是关键．